胜率、赔率、期望值、下注比例、贝叶斯更新

Original 老喻的 孤独大脑

二

先简单地描述一下三个关键概念：

1、胜率

胜率=成功的概率=成功的总次数/（成功的总次数+失败的总次数）

例如扔一个标准的硬币，你压正面，扔了100次，50次是正面，胜率就是50%。

假如玩儿扔骰子游戏，你压数字6，数学意义上的胜率是1/6。

2、赔率

赔率=获胜时的盈利/失败时的亏损

例如上面你扔骰子押数字6，若每次下注两块钱，赢了净赚十块钱，输了亏掉两块钱，那么赔率就是10/2=5。

再如你买了一只股票，预测其若上涨，幅度约为30%；若下跌，幅度约为-10%，那么赔率就是30%/10%=3。

这里容易混淆之处是，盈利的计算要扣除本金。

因为有些国家和地区的足球彩票的“赔率”包含了本金，例如说是一赔5，这"5"里包含了你的本金"一"，所以赔率应该是"（5-1）=4"。

3、下注

下注是指根据过往信息和当前局面，对未来做出一个预测，并且据此投资总资金的比例。

所以，下注的单位应该是百分比，而不是金钱数量。

例如，你听闻有位超级厉害的大佬在某牛B项目上下注100个亿，于是打算抄作业，把账户里的300万全押上去。

可是，超级厉害大佬的资金总量高达1000个亿，而且还能源源不断地募集资金。

就算你真的要抄作业，也应该抄该大佬的下注比例，也就是100/1000=1/10，所以你应该押30万。

然而，仅仅知道这三个概念，只会让赌徒产生"我懂了"的错觉，导致刚学会狗刨的新手要去横渡长江的雄心。

大部分话题都停留在“胜率和赔率哪个更重要"这类定性讨论上，说来说去，全是计谋和道理。

即使是有些专家，也没有理解"胜率、赔率、下注"之间的数学联系，以至于对凯利公式关于"下注比例"的计算表示怀疑。

下面，我将给出一个直观的、量化的、整体的"胜率、赔率、下注"理解框架。

三

这个整体框架包括四个维度，和一个原点：

一维是胜率；

二维是期望值；

三维是根据胜率和赔率所决定的下注比例；

四维是根据过往的下注结果和更新后的信息，重新调整"胜率、赔率和下注"。

原点是人性。

一维：胜率

我用改编自《周期》里的一个比方来说。

一个罐子里面装着100个球，有些是黑球，有些是红球。一个人从罐子里拿出来一个球，你猜它会是什么颜色？

假如你对罐子里的黑红球分布一无所知，你怎么猜都没意义。

但是，如果你知道其中70个是红球，30个是黑球，这就会让你赢的概率大大超过输的概率。

你当然会猜随机拿出的球可能是红色，你的胜率是70%。

用图形来表示，如下，是个一维的线段：

这是一个长度为10的线段，其中70%的部分为红色，30%的部分为黑色。（请横过来看数字）

这部分简单得出奇，但为了整个描述框架的完整性，请聪明的你耐心看下去。

（聪明人请来走个神儿：如果让你连续猜100次，并且你已经知道了70%是红球，30%是黑球，那么，你应该连续100次都猜是红球，还是70次猜是红球，30次猜是黑球？为什么？）

对胜率的把握程度，属于"概率权"的一种。

你可能会说，投资又不是猜罐子里的球，只有上帝才知道那只股票明天会涨会跌，这个胜率谁说了算？

没错，大多数"胜率"，就是靠"蒙"的。

在"对赌"的场合，关键在与你比对手"蒙"得更准，就像两个人在森林里遇到狗熊，重点不是比狗熊跑得快，而是比另外一个人跑得快。

霍华德·马斯克对此总结道：

要在这场对赌游戏中赢多、输少，你就必须在知识上有优势，你要比对手知道得更多。这正是卓越投资人的优势所在：卓越投资人对未来的趋势比一般投资人知道得更多。

你即使知道概率，也无法"确定"知道未来具体会发生什么。你还是有30%的概率会输，并且不知道具体哪一次输，哪一次赢。

对于投资这类"赌局"，理论上你只要有50.1%的优势，并且形成下注的连续性，就有机会实现接近于百分之百的收益。

这里的关键是：

对未来趋势，你知道得比别人更多，即占有知识优势，就足以让你取得长期投资成功。

这就是所谓的洞见。

张磊早年敢满仓腾讯，下注京东等公司，都是因为他根据美国的"基础概率"和自身的"知识优势"，比别人更早更准确地"蒙"对了这些公司的胜率。

他“偷”看了底牌。

胜率，是用概率来做决策依据，也就是某种量化思维的大局观。

然而，"追求做大概率正确的事情"，这句话百分之百正确吗？

并非如此。

就做事而言，也许是对的；

就投资而言，还要看赔率。

例如，下注于夺冠概率最大的巴西队，你未必能够赚钱。

二维：期望值

假如一篇讲胜率和赔率的文章，绕来绕去都不提及"期望值"，说明那篇文章的作者是个概率盲。

在本文的这个框架里，二维不是赔率，而是期望值。

再回到上面那个猜红球黑球的案例：

你已经知道了70%是红球，并且已经选择了胜率高的红球。

这时，你的对手选了黑球。但他提了一个条件：

假如你赢了，他赔你20%；

假如他赢了，你赔他80%。

你要不要和他对赌呢？

用图形来表示，如下，是二维的矩形：

如上，纵坐标是胜率，横坐标是赔率。（以下略去%）

你若获胜，收益是70✖️20，如上图的橙色面积；

你若失败，损失是30✖️80，如上图的蓝色面积；

期望值=预期收益➖预期损失=-1000，如上图的两个面积差。

所以，对方给出的赔率，会让你即使拥有70%的胜率，期望值也是负数，也不值得参与这个赌局。

反过来想，对手即使胜率较低，如果有好的赔率，还是可以有正的期望值。

所以，赔率必须结合胜率一起计算，才有意义。

去讨论胜率和赔率谁更重要，就像讨论左脚和右脚哪个更重要一样。

期望值的计算是通过面积，姑且称之为"二维"。

塔勒布曾经嘲讽索罗斯曾经的搭档罗杰斯连期望值都不懂。

当然，鸟不懂飞行原理也会飞。

但是，如果想要造一个飞行机器，最好懂点儿飞行原理。

最厉害的投资者，本质上是一台赚钱机器。所以既要有直觉，也要懂飞行原理。

为了实现这一点，让我们继续迈向三维世界。

三维：下注

如前所述，即使你有90%的获胜概率，而且赔率也极高，算下来期望值也非常有吸引力，但是在随机性的作用下，你也可能落入那10%的失败区间里。

俗称：“煮熟的鸭子飞了”。

现实中杀死一个人的钱包的，不是生猛的野鸭子，更多的是“煮熟的鸭子”。

说一个听起来很耳熟的故事吧：

你遇到一个发财机会，买入一只超牛的熟人介绍的股票，他身家好多亿，自己把钱全押进去了，万无一失。

你跟着杀进去，结果特别意外的事情发生了，概率极小，股票大跌。

煮熟的鸭子飞了。

现实世界里，煮得多熟的鸭子，都有可能再次飞起来，变成一只“黑鸭子”。

所以，聪明的玩家会在机会出现之时，通过计算，押上他们最佳的赌注。

一个人的成就大多取决于做决策，做选择，也就是分配资源。

下注，就是分配资源。

找到好的下注方法，是为了满足如下两个目标：

1、永不爆仓；

2、长期收益最大。

凯利公式由此而来。

在公式中，各参数意义为：

f = 应投注的资本比例；

p = 获胜的概率（也就是抛硬币正面的概率）；

q = 失败的概率，即(1 - p)（也就是硬币反面的概率）；

b = 赔率，等于期望盈利 ÷可能亏损（也就是盈亏比）；

公式上面的分子(bp-q)代表“赢面”，数学中叫“期望值”

凯利公式，向来充满了各种争议。它或者被高估，或者被误解。

最近我看到一篇强调“高赔率投资”的文章里，举了一个例子：

按照凯利公式：

一个10倍赔率的机会，如果只有10%的概率赢，最佳下注仓位只有1%；

一个0.5倍赔率的机会（赚1亏2），如果有80%概率赢，最佳下注仓位可以到40%。

该文由此认为：

经典投资理论更倾向于进行高概率的投资，能够提高对概率的把握就是提高胜率。

按照（凯利公式）这套重概率（胜率）轻赔率的做法，想在投资实践中获得高收益是非常不容易的。

因为概率很难预估，并且由于投资并非扔骰子式的大规模重复，对结果无法验证。

问题来了，凯利公式真的“重胜率轻赔率”吗？

并非如此。

要想回到这个问题，我们需要简单了解一下，凯利公式是怎么得来的。

某次下注，假如你赢了，总资金就会变成：

现有本金=原来本金➕下注金额✖️赔率。

其中，下注金额=原来本金✖️下注比例。

某次下注，假如你输了，总资金就会变成：

现有本金=原来本金➖下注金额。

因为我们在乎的是长期下来自己的总收益是多少，所以，要计算的是多次下注后本金的最大值。

在公式中，f为下注占总资金的百分比，p为获胜概率，b为赔率，E为期望值。

当你赢了，你的本金增加为原来的（1+f×b）倍。

当你输了，你的本金减少为原来的（1–f）倍。

假如你一共下了N次注，那就是Np次赢，N（1-p）次输，并将所有的增减倍数乘在一起。

对赌徒而言，最终收益，不是加减法，而是一个乘积，如下：

总收益=本金✖️（1+f×b）✖️（1–f）✖️（1–f）✖️（1+f×b）......

凯利公式是为了让上面这个乘积长期而言最大化。

每一次下注，都是二维的“期望值”计算，例如前面出现过的下图：

连续N次的下注，就变成了三维世界：

我们最后赚到的钱，是许多次下注累加在一起的统计学结果。

当已知胜率和赔率时，每次下注的比例，将一个个二维世界串在一起，变成了一个三维世界。

凯利公式的目标是最大化资产的增长率，也即最大化对数资产的期望值。

资产的对数期望值，计算如下：

该计算可分为两部分理解：

加号以前是有p的概率获得f×b的资金；

加号以后是有（1–p）的概率损失的赌注。

为了得到E的极大值，对E求一阶导为0。

由此，我们得到了凯利公式：

凯利公式，将“胜率、赔率、下注比例”整合在一起。

凯利公式并没有更重视“胜率”或者“赔率”。

该公式的目的，是确保下注者不爆仓的前提下，实现“拥有正期望值之重复行为”长期增长率最大化。

其中的关键点是：

拥有正期望值之重复行为。

几乎所有的赌博，期望值都是负数，即使熟练运用凯利公式也无济于事。

人们批评凯利公式的主要原因，是其适用于所有已知概率或者概率可以被估计的赌博或投资中。

因为最早索普是将其应用于玩儿赌场的21点。

但是，在资本市场上，胜率和赔率都是不确定性的，并且单次下注无法复现，也因此不能验证。

再有，谁会在每次投资前用凯利公式计算一下呢？

然而，凯利公式的精确性和简洁性，是毋庸置疑的：

公式背后“通过控制下注比例控制风险并兼顾最大化收益”的投资理念也是对的。

凯利公式在某种意义上，帮助投资者实现了期望值为正时的“遍历性”。

需要注意的是：运用凯利公式时，不能加杠杆，在估算胜率和赔率时，宁可保守一些。

那么，凯利公式是不是真的重概率轻赔率吗？

并非如此。

反过来说：

凯利公式告诉我们，过少下注所导致的“收益减少”的风险，要远小于过度下注所导致的亏钱风险。

这二者之间，并不是线性关系。

避免永久性损失，永远是投资人第一要考虑的事情。

即使你有90%的胜率，赔率高达十倍，凯利公式也会告诫你不要All in。

因为胜率高达90%，意味着你仍然有10%的可能性输掉。

多少英雄豪杰，就是因为不懂（或不接受）这一点，而被“吸附”在小概率的坑里爬不出来。

此外，对于创业者和投资人，源源不断的弹药（不包括那些短期高息的负债），能够让他们在下注上更加从容。

所以王兴说创始人最主要的三个任务之一就是找到足够多的钱，实现“无限游戏”。

即使一位投资高手不懂或者不用凯利公式来计算自己的每次下注，但是这种投资原则流淌于他们的血液之中。

四维：更新

继续说本文的四个维度的框架。

至此，有人会说，你怎么知道胜率是多少？你怎么知道赔率是多少？不知道胜率和赔率你怎么计算下注比例？

没错，胜率和赔率，是下注者的主观信念。

在赌场，我们可以用“频次”来计算出轮盘赌的概率，因为可以大规模重复。

在现实世界的更多场景下，我们需要贝叶斯理论的主观概率。

即使是在一个“过去表现并不代表未来”的投资领域，概率思维一样适用。

如果说，胜率是一维，期望值计算是二维，下注比例是三维，那么，在每一次下注之间，还有一个不断更新胜率和赔率的过程。

我将这种更新，称为“四维”。

很厉害的人，面对不确定性事件时，他的预测准确率未必比你高。

但是他的更新速度非常快。

反之，我们想想看，有多少人，拿了一手好牌，人也聪明，又很拼，结果却打得稀烂，一点儿没什么奇怪的。

简单概括一下，为了让自己成为赢家，在概率上获得优势，你需要做到：

1、拥有洞见。

卓越投资人能够洞察未来趋势，因而能够提前布局，提高胜算。

2、尊重常识。

所谓常识，就是大概率对的事情，也就是模糊的正确。

3、大胆去蒙。

你要用一种实验者、试吃者的心态去试错。

4、快速更新。

因为许多事情都是一个连续决策过程，所以前几个预测歪一点儿问题不大，贝叶斯推理的特点就是可以让你通过主动犯错迅速地接近正确。